Задача обработки решетки

Содержание

Введение

3

1.1 Задачка обработки решетки

5

1.2 Продолжаемость

9

1.2.1 Спектральные базы и совместные огромного количества

9

1.2.2 Сопряженно-симметричные функции и их векторное представление

10

1.2.3 Õàðàêòåðèñòèêè ïðîäîëæàåìîñòè

11

1.3 Граница и внутренняя часть

15

1.3.1 Функции спектральной плотности мощности

15

1.3.2 Дискретизация спектральной базы

16

1.4 Способ Писаренко

18

1.4.1 Способ Писаренко для решеток датчиков

18

1.4.2 Вычисление оценки Писаренко

22

Резюме

25

2.1. Интегральное уравнение для открытого Задача обработки решетки резонатора с осесимметричным диском

26

2.2 Интегральное уравнение открытого резонатора с диэлектрическим диском, несоосным с зеркалами [72]

32

Заключение, перспективы

39

3 Способ СВЧ контроля характеристик полимеров

40

Литература

45

ПриложениЯ

47

Приложение А

48

Приложение В

50

Приложение С

52

Иллюстрации

54



Рассматривается кратко задачка обработки решеток и формулируется задачка абстрактной Задача обработки решетки спектральной оценки. Эта задачка включает оценку многомерного диапазона мощности частотно-волнового вектора по измерениям корреляционной функции и познанию спектральной базы.

Исследование согласующихся по корреляции спектральных оценок приводит к вопросу продолжаемости : существует Задача обработки решетки ли хоть какой положительный диапазон на спектральной базе, который в точности согласует данное огромное количество корреляционных выборок? Для ответа на этот вопрос разработана математическая структура, в рамках которой следует рассматривать и разрабатывать Задача обработки решетки методы спектральной оценки.

Способ спектральной оценки Писаренко, который моделирует диапазон в виде импульсов плюс шумовая компонента, распространяется со варианта временной последовательности на более общий случай обработки решеток. Оценку Писаренко получают как решение линейной задачки Задача обработки решетки оптимизации, которая может быть решено при использовании линейного метода программирования, например, симплекс - способа.


Введение


Подобно тому, как диапазон мощности стационарной временной последовательности обрисовывает рассредотачивание мощности зависимо от частоты, диапазон мощности частотно-волнового вектора Задача обработки решетки однородного и стационарного волнового поля обрисовывает рассредотачивание мощности зависимо от волнового вектора и временной частоты либо, что эквивалентно, зависимо от направления распространения и временной частоты. Диапазон частота - волновой вектор либо информация Задача обработки решетки, которая может быть получена из него, является принципиальной в почти всех применениях. В радиоастрономии и гидролокации могут быть основаны на инфы, содержащейся в оценке диапазона мощности. Как следует, оценка диапазона мощности по Задача обработки решетки данным решетки датчиков представляет нездоровой практический энтузиазм.

Раздел II содержит лаконичный обзор волновых нолей и решеток датчиков, также введение в задачку спектральной оценки. Рассматриваются другие математические представления спектров мощности, как мер Задача обработки решетки и как функций спектральной плотности. В разделе II вводится термин корешетки, огромного количества разделений вектора и временных запаздываний, для которых доступны корреляционные подборки, и спектральной базы, области частоты-пространства волнового, вектора, содержащей мощность. к Задача обработки решетки которой чувствительны датчики. Никакой особенной структуры не подразумевается как и для корешетки. Так и для спектральной базы. Раздел II заканчивается Формулировкой абстрактной задачки: оценкой диапазона мощности при условии того, что он положителен Задача обработки решетки на спектральной базе и равен нулю вне ее, также обладает некими известными корреляциями для разделений в корешетке. Хотя и проще многих задач, встречаемых на практике, главные свойства, которые отличают задачку Задача обработки решетки решетки, от задачки спектральной оценки мощности временной последовательности, сохраняются : многомерность частотной переменной и неравномерность корешетки.

При условии этой формулировки задачи естественно рассматривать спектральные оценки, которые согласуются с известной информацией: спектральные оценки, положительные на спектральной базе Задача обработки решетки и равные нулю вне её, в точности согласующиеся с измеренными корреляциями, .исследование таких, согласованных с корреляцией, спектральных оценок ставит два основных вопроса. 1-ый и поболее базовый вопрос касается существования хоть какой Задача обработки решетки таковой оценки. Эта неувязка, продолжаемости имеет глубочайшие исторические корешки [1] и не так давно была поднята Дикинсоном [2] относительно двумерной спектральной оценки по способу наибольшей энтропии, также является темой неких недавнешних работ Цибенко Задача обработки решетки[3 - 4]. Неувязка продолжаемости исследуется в разделе III. Характеризуются продолжаемые огромного количества корреляционных измерений. Рассматривается также их зависимость от спектральной базы и эффект дискретизации спектральной базы. В попытке ответить на вопрос о продолжаемости разработана нужная Задача обработки решетки математическая структура, позволяющая рассматривать особые способы спектральной оценки и разрабатывать методы для их вычисления.

Вторым поднятым вопросом является вопрос единственности:

имеется ли единственная согласованная с. корреляцией спектральная оценка и, если нет, как избрать Задача обработки решетки подходящую ? Вправду, единственная оценка не существует, кроме очень особых случаев; задачка способа спектральной оценки состоит в выборе 1-го из ансамбля спектров, удовлетворяющего согласованию корреляции, положительности и ограничениям спектральной базы. Раздел IУ Задача обработки решетки касается способа Писаренко [5] , который включает моделирование корреляционных измерений в виде суммы 2-ух компонент. Один, шумовой компонент известной спектральной формы, но неведомой амилитуды, делается так огромным, как это может быть без перевоплощения второго компонента Задача обработки решетки в непродолжаемый. Показано, что спектральная оценка по способу Писаренко решает линейную задачку оптимизации. Решение этой задачки оптимизации будет всегда существовать, если корреляционные измерения являются продолжаемыми. Показало, что тактически способ Писаренко плотно Задача обработки решетки сплетен с вопросом продолжаемости и метод вычисления оценки Писаренко будет также служить в качестве теста продолжаемости. Показано, что оценка Писаренко не является всегда единственной в общем случае, хотя она единственна для Задача обработки решетки варианта временной последовательности, где задачка линейной оптимизации сводится к задачке на собственные значения.


1.1. Задачка обработки решетки


Вообразим многомерную однородную среду, поддерживающую волновое поле с всеохватывающими значениями u(x, t) и содержащую решетку датчиков Задача обработки решетки. Волновое паче будет предполагаться однородным и стационарным, так что его статистики второго порядка описываются корреляционной санкцией r , либо эквивалентно, диапазоном мощности [6].


(2.1)


Представление диапазона мощности, средством положительной меры обеспечивает нужную упругость для того Задача обработки решетки, чтоб иметь дело с спектром спектральных оснований унифицированным образом и обрабатывать диапазоны, которые содержат импульсы: конечная мощность при единственном волновом векторе.

В инженерной литературе более принято представлять диапазон мощности средством положительной функции спектральной плотности Задача обработки решетки . В этом представлении


(2.2)


где - некая фиксированная мера, которая позволяет интерпретировать выражение /2.2/ в виде многомерной поверхности либо большого интеграла, может быть взвешенного, над частотно-волновым векторным местом.

Если дана 'функция спектральной плотности мощности Задача обработки решетки , то может быть найти подобающую положительную меру методом требования, чтоб мера подмножества В частотно-волнового векторного места равнялась интегралу функции спектральной плотности по В:


(2.3)


Сейчас будет сформулирована обычная задачка спектральной Задача обработки решетки оценки. Повышенное внимание будет уделено моделированию параметров процесса сбора данных, которые являются общими для многих задач обработки решеток. Эти характеристики включают измерение корреляционной функции при конечном числе неравномерно распределенных точек и ограничения Задача обработки решетки на область места частоты-воктора волны, в каком может находиться мощность.

Любой из ПИП производит временную функцию, которая является волновым полем U, подвергнутым выборке в точке места. Совокупа временных функций, образуемых всеми ПИП Задача обработки решетки, выход либо отклик решетки, должна быть обработана с тем, чтоб обеспечить оценку диапазона мощности частоты-волнового вектора. Стохастический нрав волнового поля постоянно приводит к случайным 'изменениям хоть какой спектральной оценки, основанной на Задача обработки решетки выходе решетки. Чтоб противодействовать этому эффекту, спектральные оценки нередко базируются на устойчивых статистиках, получаемых с выхода решетки. Обыденным примером таковой статистики является корреляционная оценка, вычисляемая средством умножения выхода 1-го ПИП на задержанный во Задача обработки решетки времени выход второго ПИП с усреднением по времени. Эта обработка дает в итоге оценку корреляционной функции с временной задержкой, соответственной запаздыванию во времени и пространственным разделением, которое является вектором расстояния Задача обработки решетки меж ПИП. Процесс усреднения обеспечивает статистически постоянные оценки корреляции, что дает в итоге статистическую стабильность спектральной оценки, основанной на этих корреляционных оценках. Принципиально отметить, что оценки корреляций доступны только для конечного огромного количества междатчиковых расстояний Задача обработки решетки и временных задержек [8]. Тема ошибок корреляционных оценок не будет затрагиваться. Эта. статья касается быстрее параметров множеств настоящих корреляционных выборок и спектральных оценок, основанных на корреляционных подборка.

Подразумевается известным, что диапазон Задача обработки решетки заключен в ограниченной области места частота-волновой вектор, спектральной базе. Снаружи этой базы подразумевается, что диапазон равен нулю. Ограниченная спектральная база может естественно появиться несколькими способами. К примеру, в среде, которая поддерживает Задача обработки решетки скалярные волны, узнаваемый источник, среда и свойства датчика могут быть применены для построения соответственной спектральной базы. Источник может иметь известную временную ширину полосы либо известную конечную угловую протяженность. Соотношение дисперсии и Задача обработки решетки затухание в среде ограничивает область места частота-волновой вектор, в какой может находиться мощность. ПИП могут иметь конечную временную полосу могут быть направленными. Все эти эффекты могут моделироваться средством догадки о том Задача обработки решетки, что мощность отсутствует снаружи определенной области места частота-волновой вектор. Популярная спектральная база, базирующаяся на физике личной задачки, представляет собой важную априорную информацию, которая может быть использовала в .задачке спектральной оценки.

В почти всех применениях Задача обработки решетки существенно больше данных доступно во временном измерении, чем в пространственном измерении. В этих случаях комфортно отделить временную переменную средством анализа Фурье временной последовательности выхода каждого датчика, а потом произвести раздельную спектральную Задача обработки решетки опенку волнового вектора для каждой временной частоты методом использования коэффициентов Фурье в качестве данных для спектрального оценивателя волнового вектора. Таким макаром задачка оценки стимулируется для всеохватывающих данных, даже хотя физические Задача обработки решетки волновые поля имеют

вещественные значения. К счастью, обыденный анализ Фурье является нередко удовлетворительным, когда данные сверхизбыточны, также неявным при узкополосном нраве многих датчиков. Там, где ограниченные данные во временное измерении делают упомянутый выше подход Задача обработки решетки не удобным, а доступными являются широкополосные решетки датчиков, полная задачка может трактоваться средством включения временных переменных и в векторы и k. Тогда будет обрисовывать разделение как в пространстве, так и во времени Задача обработки решетки, a k волновой вектор пространства-времени. Будем считать, что принят один из этих 2-ух подходов; как следует временные переменные и будут опущены.

Обычным примером модели спектральной оценки, разработанной выше, является решетка ПИП, состоящая Задача обработки решетки из схожим образом нацеленных ИП.

Пример 2.1: решетка из 3-х ИП. Представим, что решетка ИП, показанная на рис.1, употребляется для приема единственной временной частоты , соответственной длине волны .

ИП с поперечником d имеет полосу Задача обработки решетки пропускания, которая грубо описывается выражением


.


Полагая, что волновое поле удовлетворяет соотношению дисперсии

для однородной, недиспергирующей среды, основанием для спектральной оценки должна быть полярная шапка, описываемая 2-мя уравнениями







и показанная на рис.2

Совместным обилием для Задача обработки решетки этой задачки является только огромное количество всех 3-мерных пространственных разделений меж ИП в решетке.


1.2 Продолжаемость


В последнем разделе была построена обычная модель задачки обработки решетки: если даны некие корреляционные измерения Задача обработки решетки и спектральная база, получить спектральную оценку. Естественно внедрение известной инфы о диапазоне для ограничения спектральной оценки требованием того, чтоб она была согласована с измеренными корреляциями, положительной и ограниченной спектральной основой. Такие, спектральные оценки Задача обработки решетки именуются спектральными оценками согласованными с корреляцией.

Исследование спектральных оценок, согласованных с корреляцией подымает базовый вопрос о существовании. Если задана, конечная совокупа измеренных корреляций и спектральная база, то существует ли по последней мере одна согласованная Задача обработки решетки с корреляцией спектральная оценка ? Если такая спектральная оценка существует, то о измеренных корреляциях молвят, что они продолжаемы. /Корреляционная функция, приобретенная средством оборотного преобразования Фурье согласованной с корреляцией спектральной оценки, является подходящим Задача обработки решетки продолжением корреляционных измерений на все пространственные разделения/. После неких нужных математических определений мы получим ответ на вопрос о существовании методом характеризации огромного количества продолжаемых корреляционных измерений.


1.2.1 Спектральные базы и совместные огромного количества


Сначала нужно Задача обработки решетки найти более кропотливо определения спектральная база и совместное огромное количество. Подразумевается, что спектральная база К является малогабаритным подмножеством , т.е. К замкнуто и ограничено. Предположение относительно компактности К приводит Задача обработки решетки к неким техническим преимуществам: непрерывная функция на малогабаритном огромном количестве добивается собственной нижней и верхней грани. Не считая того, компактность должна всегда содержаться в физической задачке. Как дискуссировалось в прошлом разделе, познание источника Задача обработки решетки, среды и черт датчиков может быть применено для построения соответственной спектральной базы.

Совместное огромное количество будет определяться, как конечное подмножество со качествами


I / 0;

II / если

III / является обилием линейно независящих функций на .

Условие I Задача обработки решетки/ предполагает познание r(0) полной мощности в диапазоне. Условие II/ отражает тот факт, что корреляционная функция всегда связано симметрична; так, если известна, то известна и . Условия I/ и II/ вместе предполагают, что имеет Задача обработки решетки вид


(3.1)


Условие II/ гарантирует, что корреляционные измерения независимы; каждое измерение дает новейшую информацию о диапазоне.

Если D > 1 , то задачка спектральной оценки является многомерной. Если и то задачка спектральной оценки является известным случаем временной последовательности Задача обработки решетки и вопрос продолжаемости сводится к известной задачке тригонометрических моментов [9].


1.2.2 Сопряженно-симметричные функции и их векторное представление


Спектральная база и совместное огромное количество естественно подразумевает ситуацию векторного места для задачки спектральной оценки Задача обработки решетки, в какой сопряженно-симметричные комплекснозначные функции на будут играть центральную роль. Сопряженно-симметричная функция f на является функцией, для которой при всех . Корреляционные подборки, из которых должны создаваться спектральные оценки, являются такими Задача обработки решетки функциями. /Благодаря этой симметрии многие из нижеследующих выражений являются вещественными, хотя они, ради простоты, были записаны в виде, который подразумевает, что они могут быть комплексно-значными/. Совместное огромное количество имеет 2М Задача обработки решетки + I элемент и таким макаром сопряженно-симметричная функция на характеризуется средством 2М + I независящими вещественными числами. Так, сопряженно-симметричная функция на может рассматриваться как вектор в . /Векторное место над вещественными числами выбирается поэтому, что Задача обработки решетки только умножение на вещественное число, переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию/. Будут употребляться как функциональное обозначение так и векторное f.

Так как является линейно-независимым ìíîæåñòâîì функций на K, то отсюда следует Задача обработки решетки, что каждый вектор p â может быть единственным образом связан ñ вещественно-значным -полиномом P(k) íà Ê средством соотношения


(3.2)


Вектор будет называться положительным, если на К. Р будет обозначать огромное количество этих векторов Задача обработки решетки, связанных с положительными -полиномами. Из компактности К, как можно показать, следует, что Р является выпуклым конусом с верхушкой сначала координат. /Огромное количество С является конусом с верхушкой сначала координат, если предполагает для всех Задача обработки решетки [10]. Конусы являются необходимыми видами множеств в задачке спектральной оценки, так как только умножение на положительные вещественные числа переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию, а -полином в другой -полином./

Внутреннее Задача обработки решетки произведение вектора r корреляционных выборок и вектора р полиномиальных коэффциентов будет определяться как


(3.3)


Это внутреннее произведение дает возможность по новенькому записать -полином: , где обозначает вектор с компонентами . Отметим также, что если , то , что cooтветствует выражению Задача обработки решетки соотношению Парсеваля.


1.2.3 Свойства продолжаемости


Пусть Е обозначает огромное количество продолжаемых векторов корреляции. Другими словами , если


(3.4)


для некой положительной меры на К. Из параметров интеграла следует, что, Е является замкнутым выпуклым конусом с Задача обработки решетки верхушкой сначала координат. Не считая того, сечение по Е при :

(3.5)

является выпуклой оболочкой малогабаритного огромного количества

(3.6)

является выпуклой оболочкой малогабаритного огромного количества

Итак, Е - замкнутый выпуклый конус с верхушкой сначала координат, генерируемой средством А Задача обработки решетки. Эта черта продолжаемой корреляция подобна той, которую отдал сначало Каратеодори в 1907 году для задачки тригонометрических моментов [I]. Значимость этого заключается в том, что огромное количество продолжаемых векторов корреляции описывается в определениях обычного огромного количества А Задача обработки решетки. Это дает также ясную геометрическую картину продолжаемости и полезно в подтверждениях.

2-ая черта продолжаемости, которая является более полезной при разработке способов спектральной опенки, происходит из того факта, что Е выражается Задача обработки решетки в виде скрещения всех замкнутых полупространств, содержащих его [10]. Эта черта включает дуальность, потому что полупространства определяются линейными функционалами, т.е. элементами дуального места. Замкнутое полупространство определяется средством вектора q, и вещественного числа с в Задача обработки решетки виде огромного количества


(3.7)


Чтоб найти отдельные полупространства, содержащие Е, довольно разглядеть те корреляционные векторы, которые генерируют Е : положительные кратные векторов во огромном количестве А. Замкнутое полупространство содержит Е и тогда только тогда, когда Задача обработки решетки для каждого и каждого . Так как можно сделать произвольно большой, должно быть настоящим то, что , т.е. q - член конуса Р. Меньшее полупространство, содержащее Е для такового q соответствует выбору с Задача обработки решетки = 0. Итак,


(3.8)


либо, словами, последующее.

Аксиома о продолжимости : .вектор является продолжимым и тогда только тогда, когда для всех положительных p.

Таким макаром, положительные полиномы естественно имеют место в задачке продолжаемости, так Задача обработки решетки как они определяют гиперплоскости базы огромного количества Е продолжаемых векторов корреляции. На языке многофункционального анализа аксиома о продолжимости, которая является видом леммы Фаркаша [11], просто констатирует, что Е и Р - положительные сопряженные конусы Задача обработки решетки.[10]. Эта аксиома имеет принципиальное следствие относительно перемещения обычной свойства Р, в определениях положительности, на характеристику Е. Хотя введение спектральной базы в рассматриваемую задачку является новым, по существу та же черта продолжимости была сначало применена Кальдероном Задача обработки решетки и Пепинским [l2], и Рудиным [l3].

Набросок 4 показывает зависимость Е от спектральной базы. Есть две точки зрения на эту зависимость. Ровная точка зрения отмечает тот факт, что Е является Задача обработки решетки выпуклым конусом, генерированным А; так как К уменьшилось, А сжалось и Е сейчас меньше, чем на рис.3. Косвенная точка зрения включает ограничения; огромное количество К ограничивает огромное количество Р средством условия о положительности, а Задача обработки решетки огромное количество Р ограничивает огромное количество P средством аксиомы продолжимости. Итак, когда К сжимается, Р вырастает, и Е сжимается.

Для варианта временной последовательности аксиома о продолжимости сводится к тесту положительной Задача обработки решетки определенности теплицевой матрицы, образованной из корреляционных выборок. Как следует, о продолжимости можно гласить как об общем аналоге положительной определенности.

Пример 3.1 : Случай временной последовательности; D=1, .B этом случае, неувязка продолжимости сводится к дилемме тригонометрических моментов Задача обработки решетки [9]. Хотя это и не справедливо в общем случае, для варианта временной последовательности, как надо из базовой аксиомы алгебры, положительный полином может быть факторизован в виде квадрата модуля М-той степени тригонометрического полинома


.


Внутреннее произведение Задача обработки решетки становится теплицевой формой в коэффициентах





Таким макаром, требование того, чтоб внутреннее произведение было положительным для всех полиномов сводится к требованию положительной определенности теплицевой формы, соответственной корреляционным измерениям.


1.3 Граница и Задача обработки решетки внутренняя часть


Нужно будет делать различие меж границей и внутренней частью множеств Е и Р. Рассмотрение способа Писаренко в разделе 17, например, включает векторы на границах Е и Р. Векторы во внутренней части Е Задача обработки решетки и P являются необходимыми тогда, когда затрагиваются пункции спектральной плотности, как к примеру, в способе спектральной опенки по методу наибольшей энтропии [l4].

Граница замкнутого огромного количества состоит из числа тех членов, которые находятся Задача обработки решетки произвольно близко к некому вектору снаружи огромного количества. Внутренняя часть замкнутого огромного количества состоит из числа тех членов, которые не находятся на границе. .

Граница и внутренняя часть конечного измеримого огромного количества не находится Задача обработки решетки в зависимости от личного выбора нормы вектора [15]. Не считая того, так как Р и Е являются выпуклыми огромными количествами, в особенности просто охарактеризовать их внутренний части и границы.

Граница Р Задача обработки решетки, обозначаемая , состоит из числа тех положительных полиномов, которые равны нулю для неких . Внутренняя часть Р, обозначаемая , состоит из числа тех полиномов, которые строго положительны на К.

Положительные полиномы могут быть применены для Задача обработки решетки определения границы и внутренней части Е. Граница Е, обозначаемая , состоит из числа тех продолжимых корреляционных векторов, которые превращают в нуль внутреннее произведение с неким ненулевым положительным полиномом. Внутренняя часть Е, обозначаемая , состоит из числа Задача обработки решетки тех корреляционных векторов, которые делают строго положительными внутренние произведения с каждым ненулевым положительным полиномом.


1.3.1 Функции спектральной плотности мощности


Многие способы спектральной оценки представляют диапазон мощности не как меру, а в виде функции спектральной Задача обработки решетки плотности. Это ведет к модификации задачки продолжимости: если задана фиксированная положительная конечная мера , которая определяет интеграл


(3.9)


то какие корреляционные векторы могут быть произведены от некой строго положительной функции ? При одном дополнительном ограничении Задача обработки решетки на , которое просто удовлетворяется на практике, стильно показать, что векторы, которые могут быть представлены таким макаром, являются векторами, находящимися во внутренней части Е. Не считая того, можно показать, что хоть какой век

тор Задача обработки решетки во внутренней части Е может быть представлен в форме /3.9/ для некой непрерывной, строго положительной .

Аксиома продолжимости для функций спектральной плотности:

Если каждое соседство каждой точки в К имеет строго положительную -меру, то

1/если Задача обработки решетки умеренно ограничена относительно нуля по К,

то

;

2/если , то




для некой непрерывной, строго положительной функции .


Подтверждение этой аксиомы содержится в Приложении А.


1.3.2 Дискретизация спектральной базы


Многие представляющие энтузиазм спектральные базы содержат нескончаемое число точек Задача обработки решетки. Эти спектральные базы следует нередко аппроксимировать в вычислительных методах средством конечного числа точек. Потому принципиально осознавать эффекты таковой аппроксимации.

Разглядим дискретную спектральную базу


(3.10)


Мера на дискретной базе стопроцентно характеризуется ее значением в каждой точке Задача обработки решетки. Итак, оборотный интеграл -Фурье сводится к конечной сумме

(3.11)

Аналогично, для санкций спектральной плотности


(3.12)


Мера может считаться определяющей квадратурное правило для интегралов по спектральной базе.

Из определений продолжимых векторов корреляции и положительных полиномов можно Задача обработки решетки увидеть, что, если спектральная база появляется средством выбора конечного числа- точек из некой начальной спектральной базы, то новое огромное количество Е является выпуклым полиэдром, вписанным вовнутрь начального огромного количества Е, а новое огромное количество Р Задача обработки решетки является выпуклым полиэдром, описанный вокруг начального огромного количества Р. Как следует, новое Е меньше начального Е, а новое Р больше начального Р. Довольно уплотненная подборка начальной спектральной базы приведет Задача обработки решетки к полиэдрам, которые аппроксимируют начальные огромного количества с случайной точностью. К примеру, на рис.5 показан эффект аппроксимации спектральной базы 4-мя подборками для . Начальные конусы Е и Р имеют радиальное поперечное сечение при , как показано на Задача обработки решетки рис.3. Конусы, надлежащие выборочной базе имеют /оба/ квадратное поперечное сечение. Границы новых и старенькых конусов пересекаются у векторов, соответственных точкам подборки.


1.4 Способ Писаренко


Писаренко обрисовал способ спектральной оценки временной последовательности, в Задача обработки решетки каком диапазон моделируется в виде суммы импульсов штос компонента белоснежного шума [5]. Если компонента белоснежного шума выбирается так большой, как это может быть, то, как он показал, положение и амплитуды импульсов, нужные для согласования Задача обработки решетки измеренных корреляций, определяются единственным образом. Способ Писаренко будет выведен для более обшей ориентации ИП и для более общей шумовой составляющие. Связь способа Писаренко с вопросом продолжимости будет продемонстрирована.

Продолженная оценка Писаренко Задача обработки решетки будет получена как решение задачки оптимизации, включающей минимизацию линейного функционала над выпуклой областью, определенной линейными ограничениями.

Решение этой задачки оптимизации существует всегда, но оно может быть не единственным. Выходит задачка двоякой' оптимизации, которая Задача обработки решетки для варианта временных последовательностей приводит к знакомой интерпретации способа Писаренко в виде разработки сглаживающего фильтра с ограничениями по способу меньших квадратов. И снова, решение этой двоякой задачки существует всегда, но Задача обработки решетки может быть не единственным.

Рассматриваются методы для вычисления по способу Писаренко. Основная задачка оптимизации записывается, для спектральной базы, состоящее из конечного числа точек, в воде линейной программки стандартного вида. Рассматривается применение симплекс-метода для решения Задача обработки решетки этой основной линейной программки. Представлена двоякая линейная программка. Рассматриваются также возможность сотворения вычислительных алгоритмов, более стремительных, чем симплекс-метод.


1.4.1 Способ Писаренко для решеток датчиков


Основой способа Писаренко является однозначное разложение /рис.6/ корреляционного вектора Задача обработки решетки на сумму масштабированного вектора корреляции шума , во внутренней части Е, и остаток на границе Е


(4.1)


Допущение о том, что находится в предполагает, что такое разложение случайного вектора существует и единственно. Разглядим однопараметрическое Задача обработки решетки семейство корреляционных векторов


(4.2)


Для довольно положительного не должен быть продолжаемым, а для довольно отрицательного должен быть продолжимым, потому что допущение, что предполагает, что Е содержит округа . Неровность Е значит, что имеется некое наибольшее число Задача обработки решетки , такое, что является продолжимым. Так как имеются произвольно близко к непродолжимые векторы, должен быть на границе Е. Не считая того, так как и тогда только тогда, когда продолжим, это разложение может Задача обработки решетки 'быть использовало в качестве теста продолжимости.

Это однозначное разложение может быть сформулировано в виде основной задачки линейной оптимизации на всех положительных диапазонах мощности. Отметим, что имеет по последней мере , одно Задача обработки решетки положительное спектральное представление и, что из /4.1/ для следует


(4.3)


Утверждение того, что является большим числом, так что остаток продолжаем, приводит к линейной задачке оптимизации


(4.4з)


так что


(4.45)


Максимум равен и он достигается .

Так как продолжаемо, оно Задача обработки решетки соответствует некой положительной мере . Как следует /4.1/ воспринимает вид


(4.5)


Если , то является положительной мерой, которая согласует корреляционные измерения и которая имеет более вероятную шумовую компоненту.

Некая дополнительная информация относительно остатка и его спектрального представления может быть Задача обработки решетки получена. находится на границе Е; как следует, он дает нулевое внутреннее произведение с неким ненулевым положительным полиномом


(4.6)


Из этого следует, что база должна быть на нулевом огромном количестве . Либо более точно, база хоть Задача обработки решетки какого спектрального представления должна быть на скрещении нулевых множеств всех положительных полиномов, которые образуют нулевое внутреннее произведение с . Это подразумевает окончательный шаг в выводе способа Писаренко; а конкретно, объединение остатка с Задача обработки решетки импульсным диапазоном. ^ .

Тот факт, что мотивированной функционал основной задачки оптимизации не является строго выпуклым, допускает, что решение не может в общем случае быть единственным. Решение основной задачки оптимизации всегда единственно и Задача обработки решетки тогда только тогда, когда корреляционный вектор на границе Е имеет единственное спектральное представление. В случае временной последовательности каждый таковой имеет единственное спектральное представление, как сумма М либо наименьшего числа импульсов[5].

Пример 4.1: Случай временной Задача обработки решетки последовательности, . Как и в примере 3.1, каждый положительный полином может быть факторизован в виде для некого тригонометрического полинома М-той, степени и как следует могут быть равными нуля менее, чем в М Задача обработки решетки точках. Диапазон , как следует, должен быть суммой импульсов в этих точках. Не считая того, так как может быть выстроить положительный полином, который равен нулю в произвольно избранных точках и нигде больше, то отсюда следует Задача обработки решетки, что имеет единственное спектральное представление в виде суммы импульсов в общих нулях всех положительных полиномов так что .

В более широком смысле, аксиома продолжимости вместе с аксиомой Каратеодори [16] указывает, что имеется по Задача обработки решетки последней мере одно спектральное представление в виде суммы менее чем 2М импульсов.

Аксиома представления: Если , то существует и , так что


(4.7)


Подтверждение аксиомы представления можно отыскать в Приложении В. Это представление и, таким Задача обработки решетки макаром, решение основной задачки оптимизации могут быть не единственными. Предстоящее обсуждение этой трудности единственности можно отыскать в Приложений С.

Если и местоположения импульсов в единственном решении могут быть определены для данного , то Задача обработки решетки амплитуды импульсов могут быть вычислены просто методом решения набора линейных уравнений. А на данный момент мы получим двоякую задачку оптимизации, которая дает и , так что . Тогда, если имеет единственное спектральное представление, местоположения импульсов Задача обработки решетки могут быть определены по нулям . Из аксиомы продолжимости следует


(4.8)


Потому что и , то отсюда следует, что и для всех . Не считая того, потому что для некого , то отсюда следует, что


(4.9а)


на огромном количестве


(4.9b Задача обработки решетки)


и минимум достигается при . Решение этой двоякой задачки может не быть единственным даже в случае временной последовательности, когда она сводится к задачке собственного вектора, приобретенной Писаренко, и приводит к интерпретации способа Писаренко в виде Задача обработки решетки определения сглаживающего фильтра с ограничениями по способу меньших квадратов.

Пример 4.2 : Случай временной последовательности, . Как в примере /3.1/


.


Не считая того, если соответствует белоснежному шуму единичной мощности,


.


Таким макаром, двоякая задачка оптимизации сводится Задача обработки решетки к нахождению собственного вектора теплицевой матрицы, связанного с , соответственного меньшему собственному значению. Если есть некоторое количество таких собственных векторов, импульсы размещаются в общих нулях соответственных полиномов. Хоть какой нормированный свой вектор, соответственный наименьшему Задача обработки решетки собственному значению, дает коэффициенты сглаживающего фильтра, сумма квадратов величин которых ограничена единицей, что дает меньшую выходную мощность при наличии входного процесса, корреляции которого описываются [17].


1.4.2 Вычисление оценки Писаренко


При разработке алгоритмов Задача обработки решетки вычисления оценки Писаренко можно столкнуться с дискретной спектральной основой





Для таковой базы основная задачка /4.4/ может быть переписана в виде линейное программки стандартного вида


(4.11з)


так что для

(4.11b)

с N переменными и 2М ограничениями. Минимум равен Задача обработки решетки и достигается для . Основная аксиома линейного программирования 18 эквивалентна аксиоме представления в данном случае. При условии, что для этой линейной программки существует решение, как показано в прошлом разделе, основная аксиома гарантирует Задача обработки решетки решение, в каком менее, чем 2М из не равны нулю, так называемое, базисное решение.

Двоякая линейная программка [l5]


(4.12з)


так что для


(4.12b)


эквивалентная двоякой задачке /4.9/ для дискретной спектральной базы, где ограничение


(4.13)


было применено для Задача обработки решетки исключения и где . Её минимум равен и достигается при .

Основная задачка может быть решена при использовании симплекс-метода [18]. Применение симплекс-метода к основной задачке приводит в итоге к значительно тому же результату /вычислительному Задача обработки решетки методу/, что и применение, /одинарного/ способа подмены к двоякой задачке [19]. Применив соответственный способ для избежания зацикливания [20], может быть получен метод, который гарантирует сходимость к хорошему решению за конечное число шагов Задача обработки решетки, хотя его воплощения обычно были неспешными .

Задачка чебышевской аппроксимации связана с вычислением оценки Писаренко; она может быть сформулирована, как минимизация линейного функционала на выпуклом пространстве, определенном ограничениями типа линейных неравенств [l6]. Она также Задача обработки решетки решалась с внедрением симплекс-метода /одинарная подмена/. Но для личной задачки чебышевской аппроксимации непрерывных функций полиномами с одной переменной существует вычислительный способ, который существенно резвее симплекс-метода, это способ неоднократной Задача обработки решетки подмены Ремеза. Хотя были изготовлены пробы распространить этот способ на более общие задачки [21], показавшиеся в итоге методы не довольно отлично понятны; а именно, не подтверждена их сходимость.

И в конце концов, задачки Задача обработки решетки недискретной оптимизации, включенные в вычисление оценки Писаренко, /4.4/ к /4.9/, являются видом, известным, как полубесконечные программки. Как теоретические, так и вычислительные нюансы таких программ рассматриваются в сборнике статей, изданных Геттичем [22].


Резюме


Эта статья связана с тем, что возможно Задача обработки решетки является более обычный и увлекательной задачей в обработке антенных решеток; оценкой диапазона мощности с известной основой при условии, что даны некие подборки его корреляционной функции. Хотя и обычная, эта задачка сохраняет Задача обработки решетки несколько черт, которые являются общими для многих задач обработки решеток: многомерные диапазоны, корреляционные подборки с неравномерными отчетами и произвольные спектральные базы.

Исследование спектральных оценок, согласованных с корреляцией привели к задачке Задача обработки решетки продолжимости. Были даны две свойства продолжаемости 100 задачка, для варианта временных последовательностей, известна как задачка тригонометрических моментов и ее решение включает рассмотрение положительной определенности корреляционных выборок. Положительная определенность может потому рассматриваться как особый Задача обработки решетки случай продолжимости.

Базируясь на теоретической базе, разработанной при решении задачки продолжаемости, способ Писаренко был всераспространен со варианта временных последовательностей на задачку обработки решетки. Было показано, что способ Писаренко тесновато .связан с задачек продолжимости Задача обработки решетки. Было показано, что вычисление оценки Писаренко включает решение линейной задачки оптимизации. Было показало, что решение этой задачки не является единственным в общем случае, хотя оно единственно для варианта временной последовательности, где Задача обработки решетки задачка линейном оптимизации сводится к задачка собственных значений.

Хотя рассмотренная в этой статье задачка спектральной оценки была разработала для обработки решетки, теоретическая структура и результирующие методы должна быть полезными в других многомерных Задача обработки решетки задачках, к примеру, обработке изображений.


^ 2.1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ОСЕСИММЕТРИЧНЫМ ДИСКОМ

В § 9.3 было получено интегральное уравнение (9.39) для резонатора с диэлектрическим телом в виде шара. Та­кая форма диэлектрика хороша для анализа, но неудобна Задача обработки решетки для практики.

Обычно приходится иметь дело с диэлектрическими образца­ми более сложной формы, а именно с диэлектрическим диском. В таковой ситуации получить аналитическое выражение для ядра не удается, но это Задача обработки решетки не является препятствием для нахождения решения задачки.

Вправду, ядро уравнения для резонатора с шаром (9.39) — это сумма ядра для пустого резонатора и дополнитель­ного члена, представляющего из себя поле, рассеянное шаром.

Запишем уравнение для Задача обработки решетки резонатора с диском в аналогичном виде, так как физическая картина явлении одна и та же:

(9.45)


Тут - ядро пустого резонатора; Т — ядро, связанное с рас­сеянием на диэлектрическом образчике. Обсудим, что в сути делается при Задача обработки решетки решении уравнения (9.39) способом Галеркина. Для определенности будем считать, что в качестве базовых и весо­вых (см. приложение 2) взяты собственные функции резонатора без шара, которые обозначим и будем считать ортонормированными.

С Задача обработки решетки первым слагаемым ядра все ясно, базовые функции являются его своими, и действие интегрального оператора с та­ким ядром эквивалентно умножению на постоянную, являющую­ся своим значением пустого резонатора:


(9.46)


Интегральный оператор со вторым Задача обработки решетки слагаемым ядра представ­ляет собой магнитное поле тока на зеркалах, рассеянное шаром. Плотность тока задается в виде , а рассеянное поле рассчи­тывается на поверхности зеркала. При решении (9.39) расчет рас­сеянного шаром поля проводится аналитически Задача обработки решетки. Но ту же функцию можно произвести численно, тогда и ограничения на формулу диэлектрического эталона в значимой степени сни­маются.

Для расчета растерянного поля будем использовать интегральное уравнение (3.85). Диэлектрический эталон может быть произ Задача обработки решетки­вольным телом вращения, а именно диском.

После этих общих суждений разглядим функцию реше­ния (9.45) поочередно. Функция U(x) ищется в виде

(9.47)


В согласовании с способом Галеркина (см. приложение 2) подставляем (9.47) в (9.45), потом Задача обработки решетки умножаем на и повторно ин­тегрируем по образующей зеркала. С учетом ортонормированности базовых функций имеет однородную СЛАУ

(9.48)

где - собственные числа уравнения невозмущенного резонато­ра [см. (9.46)].

Элементы матрицы СЛАУ выражаются интегралами


(9.49)

Последнюю формулу нужно осознавать как символическую Задача обработки решетки. Она эквивалентна процедуре расчета растерянного поля, описанной вы­ше. Остановимся на ней подробнее.

Сначала нужно отыскать поле на поверхности диэлектричес­кого тела, сделанное током вида на зеркалах. Это можно Задача обработки решетки было бы сделать при помощи (3.8), (3.9), но есть более обычной путь, если ограничиться рассмотрением тел маленьких, на по­рядок наименьших поперечника зеркал. Тогда можно пользоваться приближенным выражением для поля в резонаторе, соответствую­щим приближенным Задача обработки решетки функциям токов на зеркалах. На рис. 9.6 представлены графики рассредотачивания токов на зеркалах, соответ­ствующие низшему типу колебаний и колебанию, имеюще­му вариацию по радиусу . Резонатор конфокальный с па­раметром . Поблизости оси плотность тока Задача обработки решетки, описываемая гиперсфероидальными функциями (кривые 1), фактически не отли­чаются от экспоненциальной функции, умноженной на полиномы Лагерра (кривые 2), т. е. от гауссова пучка [68]. Круговое рассредотачивание отличается только масштабом по радиусу.

Таким макаром, будем обрисовывать поле Задача обработки решетки в резонаторе поблизости его центра приближенным .выражением в виде гауссова пучка


(9.50)

где


;


R - радиус кривизны волнового фронта; W — радиус «освещен­ного пятна» в пучке. Последняя величина определяется как радиус, на




Рис. 9.6. Сопоставление Задача обработки решетки четких и приближенных кривых для гиперсфероидальных функций:

1 - четкие, 2 - приближенные кривые


котором интенсивность пучка спадает в е раз по отно­шению к центру пучка. Соответствующей величиной для каждого пуч­ка является меньший радиус «пятна» . Применительно Задача обработки решетки к резонатору - это радиус «пятна» в центре, который связан с длиной резонатора 1:

(9.51)


1 Как и ранее, все длины предполагаются умноженными на волновое число, которое тут соответствует реальной части своей частоты невозмущенного резонатора Задача обработки решетки.

Величины W и R медлительно изменяются повдоль резонатора:


(9.52)

(9.53)


В центре резонатора Естественно в резо­наторе есть не один, а два встречных гауссовых пучка, и поблизости центра поле основной моды в приближении гауссова пуч­ка Задача обработки решетки имеет вид


(9.54)


На зеркале для конфокальной геометрии резонатора в согласовании с (9.51)—(9.53) , и рассредотачивание тока имеет вид1

(9.55);

Для последующего колебания «1, 0, q» поле в центре резонатора представляется формулой


(9.56)


и на зеркалах

(9.57)

Таким макаром, поле Задача обработки решетки в резонаторе без эталона, соответственное разным модам, в приближении гауссова пучка несложно запи­сать. Оно играет роль первичного поля для задачки возбуждения диэлектрического эталона.

Вычисляем эквивалентные токи на поверхности диэлектрика в предположении, что Задача обработки решетки основная поляризация поля . В обозначе­ниях § 3.3 имеем:


1 Напомним, что в открытых резонаторах с круглыми зеркалами принята последующая индексация мод : 1-ый индекс - число вариантов по R, 2-ой - число вариантов по , а 3-ий Задача обработки решетки - число вариантов по

(9.58)


Сейчас нужно вернуться к азимутальным гармоникам вида , так как ЭВМ — программки для диэлектричес­ких тел вращения изготовлены применительно к ним. Первичные то­ки представляют собой сумму первой и минус Задача обработки решетки первой гармоник. Каждую из их можно выделить, используя формулу Эйлера. В итоге решения задачки возбуждения диэлектрического тела, а непосредственно диска, получаем значения эквивалентных токов в дискретных и довольно нередко расположенных точках образую­щей Задача обработки решетки. Зависимость от этих токов популярная. Если соединить то­ки первой и минус первой гармоник, она будет таковой же, как и у первичных токов (9.58).

Последующий шаг — вычисление рассеянных диском полей на зеркалах Задача обработки решетки. Для этого употребляются формулы (3.8), (3.9). Выра жения для частей тензорной функции Грина следует упрос тить, как и при выводе уравнений (9.5)—(9.8), т. е. положить , а для функции использовать асимптотичес­кую формулу (9.22). Последняя содержит множитель Задача обработки решетки, учитываю­щий набег фазы на половине размера резонатора (расстояние от эталона до 1-го из зеркал). Таковой же набег фаз имеется в первичном для диэлектрического эталона поле. Этот сдвиг при­сутствует также в (9.56) и (9.57). Все это Задача обработки решетки позволяет вынести за символ интеграла множитель , таковой же, как и из основного ядра. Этот множитель, как и ранее, дает основную час­тотную зависимость. Ядра без него от частоты зависят слабо Задача обработки решетки, и в их частота полагается равной реальной части своей частоты пустого генератора.

Сейчас уже можно вычислить элементы матрицы (9.48). Для определения элемента берется рассеянное поле, возбужденное нулевой модой пустого резонатора, т. е Задача обработки решетки. , потом оно в соот­ветствии с (9.49) домножается на (9.55) и встраивается. При всем этом нужно держать в голове, что базовые функции предполагались нормированными. Потому функцию (9.55) нужно предвари­тельно пронормировать. В силу осевой симметрии системы Задача обработки решетки по­верхностный интеграл (9.49) можно представить в координатах вращения. Интеграл по берется аналитическим, а по радиаль­ной координате - численно. Другие элементы отыски­ваются точно так же.

Дальше решается задачка на собственные значения Задача обработки решетки, а потом с по­мощью формул (9.40) и (9.41) находятся конфигурации добротности и сдвиг частоты.


^ 2.2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ДИСКОМ, НЕСООСНЫМ С ЗЕРКАЛАМИ [72]


При проведении измерений характеристик диэлект­рика эталон в виде диска Задача обработки решетки нередко удобнее расположить несоосно с зеркалами и, а именно, так, чтоб оси резонатора и диска были перпендикулярны (рис. 9.7). Такое размещение диска нарушает осевую симметрию задачки. В общем случае отход от осевой симметрии очень Задача обработки решетки -сильно усложняет решение, так как теря­ется основное преимущество систем враще­ния — независимость отдельных азимуталь­ных гармоник полей.




Рис. 9.7. Геометрия открытого резонатора с несоосными зеркалом и диском


Но в рассматриваемой задачке анализа Задача обработки решетки полей в высокодобротном открытом резонаторе несоосность заносит технические, но не принципные затруднения. Вправду, для измерений характеристик диэлектрический эталон берется маленьким по срав­нению с размерами резонатора. Потому его внесение в резона Задача обработки решетки­тор не приводит к переходу к другой моде, а только несколько ме­няет добротность и резонансную частоту той моды, которая су­ществовала без диэлектрика. Таким макаром, за счет фильтрую­щих параметров резонатора Задача обработки решетки новых азимутальных гармоник не появ­ляется и основная трудность в несоосных системах вращения сни­мается. Нужно только смотреть за тем, чтоб на других азимуталь­ных гармониках у пустого резонатора не было вблизи от час­тоты Задача обработки решетки рабочей моды других высокодобротных мод.

Способ решения задачки остается в общих чертах этим же, что и в прошлом параграфе, но с некими усложнениями. Главное из их — это необходимость введения 2-ух Задача обработки решетки систем ко­ординат вращения: одной, связанной с зеркалами резонатора (ось вращения у}, и 2-ой, связанной с диэлектрическим телом (ось вращения z) (рис. 9.7). Поле, рассеянное диском, не обладает те­перь осевой симметрией по отношению Задача обработки решетки к зеркалам, что сущест­венно затрудняет интегрирование по поверхности зеркал, необхо­димое при применении способа Галеркина.

Разглядим сейчас этапы решения задачки. Как и ранее, в ме­тоде Галеркина в качестве Задача обработки решетки базиса употребляются собственные функции пустого резонатора, а поточнее, их приближенное пред­ставление в виде гауссова пучка.

Пусть центр диска как и раньше совпадает с центром резона­тора, а ось его симметрии повернута на Задача обработки решетки 90° по отношению к оси резонатора (см. рис. 9.6). Решение начинается с нахождения азимутальных гармоник падающего по отношению к диску поля и соответственных ему первичных токов.

Падающее поле поблизости диска выражается функциями (9.54) и (9.56), которые Задача обработки решетки с учетом изменившейся системы координат запишем так:


(9.59)

(9.60)


Положим, что основная поляризация поля в резонаторе . Экви­валентные токи в координатах вращения, связанных с диском, тогда имеют вид:

(9.61)

Тут, как и в (9.58), применены Задача обработки решетки обозначения § 3.3. Переход от декартовых к координатам вращения дает

(9.62)

Коэффициенты А, В и D зависят от формы поверхности, на которой находится точка наблюдения. На плоском торце ( - радиус диска, - его толщина); на цилиндрической поверхности .

Воспользуемся малостью диэлектрического Задача обработки решетки тела по сопоставлению с размерами резонатора, т. е. учтем, что либо и . Это позволяет представить экспоненты 2-мя членами ря­да Тейлора

. (9.63)

После чего токи записываются в виде


(9.64)


Для последующего типа колебаний «10 q» выражения для пер Задача обработки решетки­вичных токов имеют тот же вид, но A1=3A, D1=3D, B1=B. Да­лее поля распадаются в ряд Фурье. Так как тело невелико, можно ограничиться маленьким числом гармоник. Используя формулы для Задача обработки решетки коэффициентов ряда Фурье и интегральное пред­ставление функции Бесселя (9.21), получаем выражения для гар­моник падающих токов. При всем этом в силу симметрии в случае синфазных токов на зеркалах находятся только Задача обработки решетки нечетные гар­моники, что соответствует максимуму поля резонатора в области диска:





(9.65)


Тут

.

Переход к отрицательным индексам происходит так же, как и ранее.

После вычисления первичных токов употребляется метод ре­шения задачки возбуждения тела Задача обработки решетки вращения, основанный на уравнении (3.85). Итог выходит в виде рассредотачивания азиму­тальных гармоник плотностей эквивалентных токов на поверх­ности диэлектрика.

Дальше по этому рассредотачиванию несложно высчитать рассеян­ное поле везде и в Задача обработки решетки том числе на поверхности зеркала. Как и в § 9.4, это поле и определяет элементы матрицы однородной СЛАУ (9.48). Расчет ведется в тех же приближениях с учетом изменив­шейся системы координат. А именно, асимптотическая форму Задача обработки решетки­ла для функции в этих координатах имеет вид


. (9.66)


Значительные затруднения вызывает вычисление интегралов (9.49), определяющих элементы матрицы СЛАУ (9.48).

Интеграл тут поверхностный, т. е. двойной, и численное ин­тегрирование просит огромных издержек времени ЭВМ. Выходом из Задача обработки решетки положения является аналитическое вычисление 1-го из интег­ралов. Для этого можно пользоваться тем, что в направлении, перпендикулярном оси (см. рис. 9.7), любая из азимутальных гармоник растерянного поля имеет синусоидальную зависимость. Формально комфортно вести это Задача обработки решетки интегрирование по декартовой координате в границах от до . Зависимость поля будет синусоидальной лишь на окружности с центром, сов­падающим с диском1. Отличие этой окружности от меридиональной полосы зеркала учтем исключительно в фазе Задача обработки решетки. Поправочный множитель, как указывает геометрический расчет, имеет вид .

Зависимость поля каждой гармоники от на зеркале может быть представлена исключительно в числах, потому интеграл по в границах - берется численно. Таким методом приходим к Задача обработки решетки интегралу


(9.67)


где — гиперсфероидальные функции, которые берутся в приближении гауссова пучка, т. е. в виде (9.55) и (9.57).

Формула (9.67) учитывает векторный нрав поля. Все рас­четы ведутся в предположении, что основная поляризация в ре­зонаторе и, как Задача обработки решетки следует, . В рассеянном поле при исполь­зовании способа Галеркина нужно брать ту же поляризацию. Она в координатах вращения, связанных с диском, представляет собой . Интеграл по , как уже говорилось, можно Задача обработки решетки взять аналитичес­ки. Не останавливаясь на подробностях, их можно отыскать в [72], заметим, что этот интеграл можно свести к неполной гамма-функ­ции. Для вычисления последней имеются стремительно сходящиеся ря­ды. Нахождение одномерного интеграла по Задача обработки решетки численным способом труда не представляет.

Разглядим некие результаты расчетов. Отменно они такие же, как и в случае шара (§ 9.3). С ростом реальной части диэлектрической проницаемости диска вырастает смещение частоты (рис. 9.8,а Задача обработки решетки). Надуманная часть , т. е. , на данную величину оказывает влияние слабо. Изменение оборотной величины к добротности также возрастает с ростом за счет рассеяния на диске. Надуманная часть проницаемости приметно оказывает влияние 'на изме­нение добротности только Задача обработки решетки при , когда омические утраты в образчике соизмеримы с потерями резонатора за счет рассеяния на диске (рис. 9.8,6).


1 Окружность показана на рис. 9.7 узкой линией



a)

б)


Рис. 9.8. Сдвиг резонансной частоты и изменение добротности открытого Задача обработки решетки ре­зонатора с диском как функция диска





Рис. 9.9 Изменение добротности открытого резонатора с диском как функция диска



Рис. 9.10. Сопоставление характеристик резонатора с диэлектрическим шаром и диском


К тому же выводу приходим, рассматривая параметр как функцию Задача обработки решетки для разных значений . Видно, что с повышением кривая становится все более пологой и извлечение информация об диэлектрического эталона становится все более проблема­тичным (рис. 9.9).

Если считать, что 10%-ная толика омических утрат еще Задача обработки решетки раз­личима на фоне утрат на рассеяние, то в области можно измерить порядка , а при только величины .

Таким макаром, способом открытого резонатора можно определять утраты только очень нехороших диэлектриков. Расчет связи Задача обработки решетки характеристик диэлектрика и черт резонатора для шара все таки проще, чем для диска. Потому встает вопрос, нельзя ли установить соответствие меж эталонами в форме шара и диска. В качестве параметра соответствия Задача обработки решетки естественно взять объем диэлектрического эталона. С этой целью были рассчитаны смещения своей частоты и изменение оборотной величины добротнос­ти для шара и диска с схожим объемом. Оказалось (рис. 9.10), что эти зависимости, отменно однообразные, количествен Задача обработки решетки­но различаются приметно. Потому для получения применимой точности измерений нужно тарировочные кривые строить на ос­нове адекватной математической модели.


^ ЗАКЛЮЧЕНИЕ, ПЕРСПЕКТИВЫ

Способ интегральных уравнений в электродинами­ке появился сравнимо не так Задача обработки решетки давно и стремительно захватил популяр­ность. Этому содействовал целый ряд его преимуществ: простота способа и, как следует, его доступность; единство подходов к ре­шению очень широкого круга задач; удобство реализации в ви­де вычислительных программ Задача обработки решетки алгоритмов, на нем основанных, и, в конце концов, высочайшая степень универсальности.

Остановимся на обозначенных чертах способа несколько подробнее. Единство подходов к большенному кругу задач значит, как видно из гл. 2 и Задача обработки решетки 3, что интегральные уравнения, эквивалентные разным граничным задачкам электродинамики, составляются по одному и тому же стереотипу. При всем этом для задач на телах вращения нет необходимости проходить стадию уравнений для случайных тел. Истокообразные представления (3.8) и Задача обработки решетки (3.9) совместно с формулами для частей тензорной функции Грина поз­воляют" просто и стремительно, приблизительно так же как из больших блоков строят дома, составлять нужные уравнения.

Те же «крупные блоки Задача обработки решетки» в виде подпрограмм для -функции для частей тензора Грина и решения систем линейных алге­браических уравнений позволяют довольно стремительно и просто компоновать программки для всех сформулированных в книжке за­дач и для многих Задача обработки решетки других. Те же подпрограммы дают возможность после численного решения уравнений отыскать поле в хоть какой точке места.


^ 3 Способ СВЧ КОНТРОЛЯ Характеристик ПОЛИМЕРОВ


Для контроля технологических характеристик полимеров (свойства смещения, определение включений, вязкости) находят применение радиоволновые Задача обработки решетки способа СВЧ. Разглядим способ, который характеризуется определением объёмной действенной площади рассеяния ( ЭПР ).

ЭПР это площадь поперечного сечения некого фиктивного тела, которое рассеивает электрическую в одну, ЭПР значительно находится в зависимости Задача обработки решетки от формы м ориентации тела, от его материала ЭПР, разрешаемого объема заполненного частичками ( простыми отражателями), выражается произведением . Так для реальных полимерных материалов требуется знать рассредотачивание частиц во размерам размеры частиц в Задача обработки решетки единице объёма распределены по групп и в 1-й группе содержится частиц с аффективной площадью рассеяния , то удельная объёмная ЭПР


(1)


ЭПР одной сферической частички, поперечник которой много меньше длины волны, определяется формулой


(2)


Коэффициент , выраженный через Задача обработки решетки полный показатель преломления меняется от для частиц наполнителя.

Фактически для большинства объектов полимерных структур

с наполнителем удельную ЭПР можно выразить формулой


(3)


Множитель

(4)

можно именовать отражаемостью, которая находится в зависимости от концентрации и размера частиц Задача обработки решетки в разрезаемом элементе.

Изменение базы волны лги отражении можно найти из отпадения напряженностей поля падающей () и отраженной () волн:


, (5)


Модель этой всеохватывающей величины , имеющей размерность длины, определяет интенсивность отражения. Аргумент показывает на изменение фазы Задача обработки решетки волны при отражении.

Если рассматривать прием и передачу на одну и туже антенну, т.е. схожей ( согласованной) поляризацией, умножим выражение на комплексно сопряженную величину


,


В итоге получаем





Это значит, что если действенная площадь Задача обработки решетки - площадь квадрата, то модель действенной длины - это сторона того квадрата; - - четкое расстояние до источника, определяющего фазу колебаний .

Для поляризованного колебания напряженность постоянного электрического поля выражается вектором , который крутится с угловой скоростью и конец которого Задача обработки решетки обрисовывает эллипс в плоскости перпендикулярной направлению распространения. Если распространение происходит в направлении оси прямоугольной системы координат , определяемой ортами ,то эллиптически поляризованная волна выражается составляющими к на сто процентов описывается 4-мя Задача обработки решетки параметрами: амплитуда , и фазами . Но не все эти характеристики охарактеризовывают поляризацию. Идиентично поляризованными именуются волны, у каких эллипсы поляризации подобны и идиентично нацелены. Абсолютное значение амплитуд, действующие только на размеры эллипсов поляризации, исходная Задача обработки решетки фаза , однообразная для обеих составляющих, ив является поляризационными чертами.

Как следует состояние поляризации плоской волны можно на сто процентов найти 2-мя параметрами (рис.1 ).




Рис.1 Эллиптически поляризованная плоская волна


В качестве таких характеристик могут Задача обработки решетки служить отношение амплитуд и сдвиг фаз  ортогональных составляющих; отношение амплитуд нередко подменяют углом . Поляризацию можно также задать величинами, конкретно характеризующими форму и ориентацию эллипса: отношение основных осей эллипса углом и углом Задача обработки решетки наклона главной оси (рис.1).

Система координат , в какой представлено поляризованное колебание, может быть задана парой единичных взаимно перпендикулярных векторов , . Такие ортогональные векторы - орты - именуются поляризованным базисом.

В поляризованном базисе ( , ) вектор можно представить Задача обработки решетки выражением





где , и , - модули и фазы всеохватывающих амплитуд, составляющих напряженности электронного поля соответственно. Если , то поляризация линейна, при она эллиптическая. При радиальный поляризации амплитуды составляющих схожи, а фазы смещены на 90°.

Поляризационные преобразования при отражении Задача обработки решетки можно представить уравнениями





связывающими ортогональные составляющие напряженности ноля падающей () и отраженной () волн, взятых в одном и том же поляризационном базисе (). Пару этих выражений можно записать в матричной форме.





Таблицу всеохватывающих величин





именуют Задача обработки решетки матрицей рассеяния. В данной записи матрица рассеяния образована поляризационными составляющими действенной длины цели.

В предстоящем будем рассматривать в качестве основной свойства цели матрицу действенной длины





Матрицу действенной длины целенаправлено представить в виде




где

Таким макаром Задача обработки решетки, чтоб получить матрицу действенной длины цели для однокомпозиционной схемы измерения ( т.е. антенна является приемной к передающей довольно отыскать значения модулей матрицы и размерностей их аргументов .Для этог0 производят исцеление и прием Задача обработки решетки сигналов для 2-ух составляющих избранного поляризационного базиса раздельно.

При излучении электрических воли вертикальной поляризации и при приеме вертикально и горизонтально поляризованных составляющих отраженного сигнала, можно измерить модули и разность фаз . При Задача обработки решетки излучении величин с горизонтальной линейной поляризацией находят соответственно и . Основная трудность возникает при прямом измерении разности фаз . Для этого требуется источать раздельно по времени или по частоте два зондирующих колебания: с горизонтальной Задача обработки решетки и вертикальной поляризацией.




zadachi-dlya-podgotovki-k-ekzamenu-po-kursu-matematika-3-semestr.html
zadachi-dlya-resheniya-kotorih-dannaya-organizaciya-sushestvuet-upravlenie-kotoroe-formiruet-mobilizuet-i-privodit-v-dvizhenie-potencial-organizacii-dlya-resheniya-stoyashih-pered-nej-zadach-missiya-organizacii-stranica-20.html
zadachi-dlya-samostoyatelnogo-izucheniya.html