Задача о наименьшей поверхности вращения

Пусть даны две точки , плоскости , пусть . Пусть дальше – уравнение кривой, соединяющей точки и , т.е. , . Кривая крутится вокруг оси , заметая некую поверхность вращения. Спрашивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая меньшую вероятную площадь. Таким макаром, мы приходим к дилемме выбора функции , для которой интеграл

– площадь поверхности вращения – мал. Такие малые поверхности вращения, при Задача о наименьшей поверхности вращения неких дополнительных ограничениях на точки и , именуются катеноидами.

Функция F в данном случае имеет вид , другими словами не находится в зависимости от x. 1-ый интеграл дается равенством

, тогда и .

Решая это уравнение в разделяющихся переменных, получаем

.

Комфортно дальше положить . Тогда

.

Положим и , тогда совсем – разыскиваемая кривая (цепная линия).

Перечень рекомендуемой Задача о наименьшей поверхности вращения литературы

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.

2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.

3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачках / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.

Варианты заданий

Задание 5

Отыскать Задача о наименьшей поверхности вращения экстремали последующих функционалов в обозначенных областях с данными критериями на границе.

1. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

2. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

3. ,

– круг: .

Граничные условия: .

4. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , .

5. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

6. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

7. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

8. ,

– круг: .

Граничные условия: .

9. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , .

10. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

11. ,

– сектор круга: .

Граничные условия Задача о наименьшей поверхности вращения: , .

12. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

13. ,

– круг: .

Граничные условия: .

14. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , .

15. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

16. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

17. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

18. ,

– круг: .

Граничные условия: .

19. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , .

20. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

21. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

22. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

23. ,

– круг: .

Граничные условия: .

24. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , .

25. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

26. ,

– сектор круга Задача о наименьшей поверхности вращения: , .

Граничные условия: , , где – случайная непрерывная на отрезке функция.

27. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

28. ,

– круг: .

Граничные условия: .

29. ,

– квадрат: .

Граничные условия: .

30. ,

– сектор кольца: , – непрерывная на отрезке функция.

Граничные условия: .

Задание 6

Отыскать экстремали последующих функционалов в обозначенных областях с данными критериями на границе, используя для построения решения функции Бесселя и многочлены Лежандра.

1. ,

– прямой Задача о наименьшей поверхности вращения радиальный цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

2. ,

– прямой радиальный цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

3. ,

– прямой радиальный цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

4. ,

– шар: .

Граничные условия: .

5. ,

– шар: .

Граничные условия: .

6. ,

– шар: .

Граничные условия: .

7. ,

– шар: .

Граничные условия: .

8. ,

– шар: .

Граничные условия: .

9. ,

– круг: .

Граничные условия Задача о наименьшей поверхности вращения: .

10. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

11. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

12. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

13. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

14. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

15. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

16. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке Задача о наименьшей поверхности вращения функция.

17. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

18. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

19. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

20. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

21. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

22. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция Задача о наименьшей поверхности вращения.

23. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

24. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

25. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

26. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

27. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

28. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные Задача о наименьшей поверхности вращения условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

29. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

30. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

Задание 7

Решить задачку навигации при условии, что собственная скорость лодки постоянна, а скорость реки задается обозначенным ниже равенством. Предполагая, что , выстроить график движения лодки, при Задача о наименьшей поверхности вращения котором переправа осуществится за малое время.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .

Задание 8

Отыскать экстремали последующих вариационных задач с подвижными границами.

Задание 9

Отыскать решение последующих изопериметрических задач.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

14.

19.

23.

Задание 10

Сконструировать последующие задачки как задачки на отыскание экстремумов неких интегральных функционалов и решить их способами вариационного исчисления.


zadachi-chempionata-privlechenie-vozmozhno-bolshego-chisla-detej-k-aktivnoj-intellektualnoj-deyatelnosti-soderzhatelnomu-dosugu-pooshrenie-lichnostnoj-samobitnosti-rebyonka.html
zadachi-chto-nuzhno-sdelat-chtobi-cel-bila-dostignuta-teoreticheskaya-chast.html
zadachi-dat-znaniya-o-znachenie-dvigatelnoj-aktivnosti-i-neobhodimosti-virabotki-privichek-k-sistematicheskim-zanyatiyam-fizicheskoj-kulturoj-nauchit-poryadku-provedeniya-fizicheskoj-zaryadki.html